Giả thuyết tổng quát hơn cho đa tạp n-chiều được gọi là Giả thuyết Poincaré mở rộng. Trong trường hợp n=2 người ta đã biết từ lâu và không quá khó để chứng tỏ rằng mặt cầu hai chiều là mặt không biên compact duy nhất mà là đơn liên. Những mặt xuyến là không đơn liên vì chúng có những "lỗ" và do đó có những đường cong đóng không thể thắt lại được.

Những cố gắng để nghiên cứu Giả thuyết Poincaré mở rộng đã dẫn đến những tiến bộ to lớn trong ngành Tôpô và trong Toán học nói chung. Năm 1960 nhà toán học lớn người Mỹ Stephen Smale đã chứng minh Giả thuyết Poincaré mở rộng cho mọi n lớn hơn hay bằng 5. Công cụ chủ yếu của ông là lý thuyết Morse trong Tôpô vi phân. Nhờ vậy Smale được trao giải Fields năm 1966. Mãi đến năm 1982 trường hợp n=4 mới được giải quyết nhờ công của nhà toán học Mỹ Michael Freedman. Công cụ của ông lại hoàn toàn là Tôpô Hình học, nghĩa là nói chung không sử dụng các cấu trúc vi phân hay đại số. Freedman rồi cũng được trao giải thưởng Fields năm 1986.

Đóng góp to lớn vào những công trình nghiên cứu dẫn đến các kết quả này và những tiến bộ sau đó phải kể đến John Milnor (giải Fields 1966), John Stallings, Papakyriapoulos, Sergey Novikov (giải Fields 1970), Robion Kirby, Simon Donaldson (giải Fields 1986) và nhiều người khác. Những phương pháp khác nhau đã được sử dụng: Tôpô vi phân, Tôpô đại số, Tôpô hình học, và cả những ý tưởng từ vật lý lý thuyết.